10502 העדפה ובחירה חברתית – ממ”ן 14, ציון 93 – כולל הערות המנחה.
חומר הלימוד למטלה: יחידה:7
מושגים: חוסר עקביות בצמצום, פרדוקס היפוך הסדר, פרדוקס הזוכה הופך למפסיד, פרדוקס ההיעדרות, כלל אגרגציה, קונדורסה, פרופיל העדפות, כלל בורדה, אקסיומה חלשה של העדפה נגלית, כלל בורדה-רוב.

שאלה 1: טענות
א. אם פרופיל מסוים חשוף לחוסר עקביות בצמצום, הוא בהכרח חשוף לפרדוקס היפוך הסדר.
ב. אם פרופיל מסוים חשוף לחוסר עקביות בצמצום, הוא בהכרח חשוף לפרדוקס הזוכה הופך למפסיד.
ג. אם פרופיל מסוים חשוף להיפוך הסדר, הוא בהכרח חשוף לחוסר עקביות בצמצום.

שאלה 2: טענות
א. אם פונקציית בחירה חברתית חשופה לפרדוקס ההיעדרות בפרופיל העדפות מסוים, אז באותו פרופיל העדפות היא חשופה לחוסר עקביות
ב. אם כלל אגרגציה חשוף לפרדוקס היפוך הסדר, אז הוא חשוף גם לפרדוקס הזוכה הופך למפסיד.
ג. אם כלל אגרגציה חשוף לפרדוקס הזוכה הופך למפסיד, אז הוא חשוף גם לפרדוקס היפוך הסדר.
ד. כלל בחירה הנותן ביטוי לעוצמת העדפות בין האפשרויות, איננו מקיים את קריטריון קונדורסה.

שאלה 3:
אגודת “תנו לחיות לחיות” מונה עשרים סניפים בארץ, כך שבכל סניף עומד יו”ר. אחת לחודש מתכנסים כל היו”רים לדיון בהצעות לייעול תפקוד האגודה בארץ. על פי כלל ההחלטה, הצעת ייעול תתקבל רק אם 13 יו”רים יתמכו בה.
כלל הבחירה הנ”ל מקיים ? יש להקיף את התשובה הנכונה ולנמק את הבחירה.
א. רק את תכונת הניטרליות.
ב. את תכונות הרגישות השלילית והאנונימיות.
ג. הכלל מקיים רק את תכונת האנונימיות.
ד. הכלל לא מקיים את אף אחת מהתכונות.
ה. הכלל מקיים: ניטרליות, אנונימיות ורגישות שלילית

שאלה 4:
פרופיל ההעדפות של עשרים פרטים המוגדר על ארבע האפשרויות ,x ,y z ו- w מתואר בטבלה שלפניך:
? ? ? ? ? ? ?
x y z z w z z
y x w y x w y
z z x w y y x
w w y x z x w

א. השלם את מספר הפרטים בראש כל העמודה, כך שהפרופילים שכתובים יאפשרו לך להוכיח, אם ניתן, שכלל בורדה מפר את האקסיומה החלשה של העדפה הנגלית.

פרופיל ההעדפות של שבעה פרטים המוגדר על ארבע האפשרויות ,x ,y z ו- w מתואר בטבלה שלפניך, אך נמחקו מספר נתונים מהטבלה.
פרט 1 פרט 2 פרט 3 פרט 4 פרט 5 פרט 6 פרט 7
x w x w y
x z x w
z x y x y
w y z w z w

ב. השלם את הנתונים החסרים כך שתוכל להוכיח, אם ניתן, בעזרת פרופיל זה שכלל האגרגציה של בורדה חשוף לפרדוקס הזוכה הופך למפסיד.

שאלה 5:
האם פונקציית בחירה חברתית חד שלבית יכולה להיות חשופה לפרדוקס ההיעדרות, הסבר תוך ליווי בהוכחה מתאימה.

שאלה 6:
נגדיר כלל בחירה חדש, שיקרא “כלל בורדה-רוב” לפי כלל זה תחילה משווים בין כל צמד אפשרויות לפי כלל הרוב הפשוט. לאחר מכן נותנים ניקוד לאפשרויות לפי שיטת הניקוד הבאה: בודקים את העדפה על פי כלל הרוב הפשוט בין כל צמד אפשרויות, כאשר העדפה של אפשרות מסוימת על אפשרות אחרת מזכה אותה ב2- נקודת אם העדפה היא פה אחד מזכה ב3- נק’ ובמקרים של תיקו, תינתן נקודה לכל אפשרות. אח”כ סופרים את סך הנקודות שקיבלה כל אפשרות , כאשר האפשרות שקיבלה את מספר הנקודות
הגבוה ביותר זוכה.
מפיק הפסטיגל לשנת 2016 מתלבט לגבי זהותו של השחקן הראשי במופע, להלן האפשרויות :
נינט – X יהודה לוי – Y טל מוסרי – Z עוז זהבי – W
לצורך קבלת ההחלטה הוא מכנס לדיון 4 אנשי מקצוע. להלן העדפותיהם:
P1 : z p1 y P2 : y p2 x P3 : x p3 w P4 : w p3 z

p1 w p1 x
p2 z p2 w
p3 y p3 z
p3 y p3 x

1 דרג את האפשרויות על פי כלל בורדה וכלל הרוב הפשוט.
2. דרג את האפשרויות על פי “כלל בורדה-רוב” , וקבע האם שימוש בכלל זה יביא בהכרח לבחירה נחושה (ללא קשר לפרופיל הנ”ל)?
3. האם “כלל בורדה-רוב” עקבי קונדורסה, נמק.
4. הנח כעת כי עוז זהבי הוא השחקן המועדף על המפיק, לכן החליט המפיק לשנות את שיטת הבחירה לשיטת הרוב הסדרתית. האם קיים “סדר יום” שירצה את המפיק, אם כן הצג
אותו, ואם לא קיים, הסבר מדוע.