10502 העדפה ובחירה חברתית – ממ”ן 13, ציון 95 – כולל הערות המנחה.
חומר הלימוד למטלה: יחידה: 5.
מושגים: פרופיל העדפות, יחס העדפה חברתי, כלל בורדה, כלל הרוב הפשוט, תכונת הניטראליות- F, תכונת הביטול – C, כלל בחירה דיכוטומי, זוכה לפי קונדורסה. יחסי סדר חזקים, אנונימיות, רגישות חיובית, פונקציית בחירה חברתית.

שאלה 1:
כי נניח  x, y, a, b, c X , 1,2,3,4,5,6,7  N ופרופיל ההעדפות P של אחת עשר פרטים נתון בטבלה שלפניך:
5 3 3
y b x
x c a
a y b
c a c
b x y

א. קבע את יחס העדפה החברתי לפי כלל בורדה ולפי כלל הרוב הפשוט
ב. הוסף פרופיל העדפה עבור שני פרטים נוספים, אם ניתן, כך שהזוכה לפי כלל בורדה בסעיף א’ יהפוך למדורג השלישי, לפי כלל זה.
ג. הורד מהפרופילים הנתונים 2 פרטים כרצונך, כך שבתוצאה הסופית המועמד הנבחר בפרופיל המקורי לפי כלל הרוב הפשוט יהפוך למפסיד, לפי אותו הכלל (אם הדבר אפשרי).
ד. ערוך שינויים כרצונך, כך שהמועמד הנבחר לפי כלל בורדה, ייבחר גם כמנצח לפי קונדורסה. (אם הדבר אפשרי)

שאלה 2:
הוכח כי תכונת הניטראליות- F ותכונת הביטול – C הן תכונות בלתי תלויות.

שאלה 3:
ועדת התרבות בכנסת מונה עשרה חברי כנסת. אחת לשבוע מתכנסת הועדה לדיון בהצעות לקידום הספורט במדינה, כך שכל הצעה יכולה להידחות או להתקבל. ידוע כי ליו”ר הועדה יש קול משולש. על פי כלל ההחלטה, הצעה תתקבל אם רוב חברי הוועדה יתמכו בה .
הגדר את כלל הבחירה הדיכוטומי הזה.

שאלה 4:
בטבלה מוצג פרופיל ההעדפות של 19 פרטים. יחסי ההעדפה הם יחסי ההעדפה הם יחסי סדר חזקים.
7 3 5 4
x z y y
y x x z
z y z x

א. האם קיימת אפשרות שהיא זוכה על פי קונדורסה ? אם כן הראה מהי, אחרת הסבר מדוע לא קיימת אפשרות כזו
ב. הוכח , אם ניתן, שכל כלל נקודות אפשרי ייבחר תמיד באותה אפשרות כמנצחת.
ג. ערוך שינויים בפרופיל העדפה על מנת שהאפשרות שתיבחר לפי כלל בורדה, תהיה אפשרות שמנצחת לפי קונדורסה.

שאלה 5:
נתונה חברה בה שבעה פרטים. פונקציית הבחירה החברתית שלה F אינה ידועה אך ידוע כי היא מקיימת רגישות חיובית ונייטרליות. כמו כן ידועה החלטתה עבור פרופיל העדפות בשורה הראשונה.
א. קבע, אם ניתן, מהי בחירת החברה בפרופילים הבאים והסבר את הסיבה לקביעה.
ב. הנח כעת שפונקצית הבחירה החברתית F ,אינה ידועה אך ידוע כי היא מקיימת אנונימיות ונייטרליות.
קבע, אם ניתן, מהי בחירת החברה בפרופילים הבאים והסבר את הסיבה לקביעה.