10502 העדפה ובחירה חברתית – ממ”ן 12, ציון 94 – כולל הערות המנחה.
חומר הלימוד למטלה: יחידה: 4.
מושגים: כלל הרוב הפשוט, כלל בורדה , כלל הפארטו, כלל הקבוע, טרנזיטיביות, פונקציית בחירה חברתית נחושה, קונדורסה, ND, IIA, כלל הרובניות, פרופיל העדפות, יחס העדפה חברתי.

שאלה 1:
א. הצג תרחישים מהמציאות שבהם מתקבלות החלטות לפי כל אחד מהכללים הבאים: כלל הרוב הפשוט, כלל הבחירה ע”פ בורדה , כלל הפארטו וכלל הקבוע
ב. באיזה מבין ארבעת הכללים הבאים לא מתקיימת תכונת הטרנזיטיביות , הסבר תוך הצגת דוגמה מתאימה
ג. באיזה מבין ארבעת הכללים הבאים לא מתקיימת תכונת הפארטו , הסבר תוך הצגת דוגמה מתאימה.

שאלה 2:
להלן תיאור של שני תהליכי בחירה שהוצעו ע”י מיטל ויסמין, תלמידות כיתה י”ב במקיף רבין. התהליכים מיועדים לדירוג המועמד הטוב ביותר מתוך קבוצה גדולה מאוד של מועמדים, כאשר קיימים 20 שופטים: להלן תיאור של תהליכי הבחירה:
תהליך הבחירה של מיטל: כל שופט יעניק 12 נק’ למועמד המועדף ביותר מבחינתו, 11 נק’ למועמד השני בדירוגו וכך הלאה עד למועמד שממוקם מבחינתו במקום ה-12, לו תוענק נק’ אחת בלבד ולכל יתר המועמדים לא יוענקו נקודות כלל.
תהליך הבחירה של יסמין: כל שופט יעניק 12 נק’ למועמד המועדף ביותר מבחינתו, 10 נק’ למועמד השני בדירוגו, 8 נק’ נקודות למועמד השלישי בדירוגו וכך הלאה.
א. האם הבחירה על פי שני תהליכי הבחירה תתלכד תמיד ? הסבר
ב. איזה מבין הכללים הוא פונקציית בחירה חברתית נחושה, הסבר.
ג. איזה מבין הכללים מקיים את תכונת קונדרסה, הסבר.
ד. האם הכללים מקיים את התכונות ה- ND וה-IIA , הוכח.

שאלה 3:
שמונה נציגים בכירים מזמר הישראלי נפגשים על מנת לבחור את נציגה של מדינת ישראל לתחרות האירוויזיון 2011. לזמר יזהר כהן יש קול כפול וכל יתר הנציגים בעלי כוח הצבעה זהה. ארבעת האומנים העומדים לבחירה: רוני דלומי, מיכל אמדורסקי, ז’קו ואביב גפן.
להלן מספר טענות, קבע לגבי כל אחת מהן האם היא נכונה או לא נכונה ונמק:
1. הנציגים בחרו להשתמש בכלל בורדה ורוני נבחרה, לאחר מכן הורדה האפשרות של מיכל ושוב נערכות בחירות, גם בבחירות אלו בהכרח תיבחר רוני.
2 עצם העובדה שליזהר כהן קול כפול, גורמת לכך שהבחירה הסופית תתלכד עם בחירתו.
3. בגלל שמספר הנציגים זוגי ומספר המועמדים זוגי, הבחירה שתתקבל בהכרח תהיה נחושה
4. שימוש בכלל הרובניות, יביא בהכרח לבחירתה של האפשרות “המובסת על פי קונדורסה.”

שאלה 4:
מהו מספר פרופילי העדפה החזקים האפשריים בהנחה שקבוצת האפשרויות X מכילה 3 אפשריות וקב’ האנשים N מכילה 6 פרטים:
א. 13
ב. 6
ג. 13 בחזקת 5
ד. 6 בחזקת 5
ה. אף אחת מהתשובות אינה נכונה.

שאלה 5:
נסמן בm- את מספר האפשרויות ב,X- וב- x ri את הדירוג היחסי של אפשרות טיפוסית x ביחס העדפה של פרט i . נניח כי יחסי ההעדפה של כל הפרטים הם יחסי סדר חזקים, וכי פרט מעניק x si נקודות לאפשרות x , 1  x ri  m  x si .

א. מה המשמעות של x si? כמה נקודות תקבל האפשרות המועדפת וכמה נקודות תקבל האפשרות הנחותה ?
ב. הטבלה שלפניך מציגה פרופיל העדפות של שלושה פרטים: פרט ,1 פרט 2 ופרט 3
P1 P2 P3
Q A B
A Q C
B C A
C B Q
C B Q
מהו יחס ההעדפה החברתי שיתקבל מהשימוש בכלל המוצג?
ג. האם הכלל המוצג יביא לבחירה נחושה בכל פרופיל העדפות ? האם הכלל עקבי קונדרסה?
ד. האם יחס העדפה שמתקבל לפי הכלל הנ”ל יתלכד תמיד עם יחס העדפה שמתקבל לפי כלל בורדה?